El Cálculo Integral
El concepto de integral esta relacionado con problemas de cálculo de áreas
en el plano y volúmenes en el espacio. Los antiguos griegos emplearon el método
del agotamiento para determinar áreas encerradas
por curvas, en esa época (aproximadamente 300 a.C) ya se sabía como hallar el área de
cualquier polígono al dividirlo en triángulos.
Para determinar el área de un círculo emplearon el método del
agotamiento el cual consistía en inscribir y circunscribir polígonos en el
círculo, aumentando cada vez más el número de lados de los polígonos para acercarse
a la curva.
Eudoxo de Cnido (408 –
355 a.C) y
Arquímedes de Siracusa (287 -212 a.C) se cree
emplearon este método que se explica a continuación.
Comencemos con un cuadrado inscrito y circunscrito en un círculo...
El lado del cuadrado inscrito mide 8,49 unidades. El área del cuadrado la podemos calcular como lado por lado o lado al cuadrado.
En este caso (8,49) x (8,49) = 72,0801 unidades cuadradas.
El lado del cuadrado circunscrito mide 12 unidades. El área de este es (12)x(12) = 144 unidades cuadradas.
El área aproximada del círculo con este método lo podemos obtener con la semisuma de las áreas calculadas. Es decir:
(72,0801+144) / 2 = 108,04005
unidades cuadradas
Si aumentamos el número de lados del polígono inscrito por ejemplo a ocho lados...
El área que obtenemos es la siguiente: 101,82 unidades cuadradas.
Si aumentamos ahora el número de lados a 16
El área que se obtiene es: 110,21 unidades cuadradas.
Por último si el polígono tiene 32 lados...
El área es: 112,37 unidades cuadradas.
Exhaustos por la aplicación del método, podemos calcular el área del círculo con la fórmula:
Como el radio del círculo es 6 unidades. El área es: 113,0973355 unidades cuadradas.
Podemos notar que a medida que aumentamos el número de lados del polígono inscrito en el círculo nos aproximabamos al área del mismo. Esto lo podemos experimentar también con los polígonos circunscritos.
Años mas tarde el matemático Riemann (1826 - 1866) hace sus aportes al cálculo integral específicamente al cálculo de área pero con distintas curvas.
Si aumentamos ahora el número de lados a 16
Por último si el polígono tiene 32 lados...
Exhaustos por la aplicación del método, podemos calcular el área del círculo con la fórmula:
Podemos notar que a medida que aumentamos el número de lados del polígono inscrito en el círculo nos aproximabamos al área del mismo. Esto lo podemos experimentar también con los polígonos circunscritos.
Años mas tarde el matemático Riemann (1826 - 1866) hace sus aportes al cálculo integral específicamente al cálculo de área pero con distintas curvas.
Veamos intuitivamente su aporte...
El
método del agotamiento fue eficaz para determinar el área de un círculo, pero
si se tiene una curva cualquiera, ¿Cómo se determina el área que encierra esa
curva?, la respuesta a esta pregunta la proporcionó el matemático Riemann
aproximándose a la curva con rectángulos.
Por ejemplo: Sea
R la región debajo de la gráfica de la función cuadrática y por arriba del intervalo [0,3]. Se calcula la subestimación y la sobreestimación del área A
de R obtenida usando 5 rectángulos de base 3/5.
Al tomar rectángulos de base 3/5 el intervalo [0,3] queda dividido en cinco segmentos por los puntos: A = (3/5,0), B = (6/5,0), C = (9/5,0) y D = (12/5,0). Se establecen ahora las imágenes de 0, 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y3 a través de la función cuadrática f.
Ahora bien la Sobreestimación es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima de la curva
Gráficamente:
Para obtener el área delimitada por la función cuadrática, el eje X y el intervalo [0,3], Se calculará el siguiente promedio:
Al tomar rectángulos de base 3/5 el intervalo [0,3] queda dividido en cinco segmentos por los puntos: A = (3/5,0), B = (6/5,0), C = (9/5,0) y D = (12/5,0). Se establecen ahora las imágenes de 0, 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y
x
|
f (x) = x2
|
0
|
0
|
3/5
|
9/25
|
6/5
|
36/25
|
9/5
|
81/25
|
12/5
|
144/25
|
3
|
9
|
Se
puede observar la
Subestimación gráficamente así:
El área aproximada bajo la curva la podemos calcular aplicando repetidas veces la fórmula del área del rectángulo (A = b.h) y luego sumar cada una de estas áreas.
Área del primer rectángulo = 3/5[(0)(0)] = 0
Área del segundo rectángulo = 3/5[(3/5)(3/5)] = 27/125
Área del tercer rectángulo = 3/5[(6/5)(6/5)] = 108/125
Área del cuarto rectángulo = 3/5[(9/5)(9/5)] = 243/125
Área del quinto rectángulo = 3/5[(12/5)(12/5)] = 432/125
Área total = 0 + 27/125 + 108/125 + 243/125 + 432/ 125 = 162/25 = 6,48 unidades cuadradas
Ahora bien la Sobreestimación es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima de la curva
Área del primer rectángulo = 3/5[(3/5)(3/5)] = 27/125
Área del segundo rectángulo = 3/5[(6/5)(6/5)] = 108/125
Área del tercer rectángulo = 3/5[(9/5)(9/5)] = 243/125
Área del cuarto rectángulo = 3/5[(12/5)(12/5)] = 432/125
Área del quinto rectángulo = 3/5[(3)(3)] = 27/5
Área del quinto rectángulo = 3/5[(3)(3)] = 27/5
Área total = 27/125 + 108/125 + 243/125 + 432/ 125 + 27/5 = 297/25 = 11,88 unidades cuadradas
Gráficamente:
Para obtener el área delimitada por la función cuadrática, el eje X y el intervalo [0,3], Se calculará el siguiente promedio:
(11,88 + 6,48) / 2 = 9,18 unidades cuadradas
Aplicando
los métodos de integración y el Teorema Fundamental del Cálculo se obtiene que
ésta área posee 9 unidades cuadradas.
En el siguiente cuadro Edwards, Hostetler y Larson (2006) resumen lo que es el cálculo integral:
Referencia
Edwards,
B., Hostetler, R. y Larson, R. (2006). Cálculo.
México: McGraw – Hill.
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