El Cálculo Diferencial

El Cálculo Diferencial

     El concepto de derivada es otro de los términos del cálculo estudiado en Educación Superior, Stewart (2001) define la derivada así: “La recta tangente a y = f(x) en (a,f(a)), es la recta que pasa por (a,f(a)) cuya pendiente es igual a f´(a), la derivada de f en a” (p.157). 

    Por ejemplo si se quiere encontrar una ecuación de la recta tangente a la parábola y =f(x)= x²-8x+9 en el punto (2,-3). Se procede de la siguiente forma: 

(a) En primer lugar se halla la derivada de la función f,  f´(a)= 2a-8,

(b) Se determina la pendiente de la recta tangente en el punto (2,-3) es f´(2)= 2(2)-8 = 4-8= -4, la pendiente de la recta tangente es -4,

(c) Con la pendiente m = -4, el punto (2,-3) y la ecuación pendiente intersección y = mx +b se obtiene la ecuación de la recta tangente, se sustituyen los valores m = -4, x = 2 e y = -3 para obtener b = 5, así: y = 5 – 4x. 

    

    En el siguiente gráfico se ilustra este ejemplo:

    En el siguiente cuadro Edwards, Hostetler y Larson (2006) resumen lo que es el cálculo diferencial:

Referencias

Edwards, B., Hostetler, R. y Larson, R. (2006). Cálculo. México: McGraw – Hill.

Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Thomson Learning.

El Cálculo Integral

El Cálculo Integral

    El concepto de integral esta relacionado con problemas de cálculo de áreas en el plano y volúmenes en el espacio. Los antiguos griegos emplearon el método del agotamiento para determinar áreas encerradas por curvas, en esa época (aproximadamente 300 a.C) ya se sabía como hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos.

    Para determinar el área de un círculo emplearon el método del agotamiento el cual consistía en inscribir y circunscribir polígonos en el círculo, aumentando cada vez más el número de lados de los polígonos para acercarse a la curva.

   Eudoxo de Cnido (408 – 355 a.C) y Arquímedes de Siracusa (287 -212 a.C) se cree emplearon este método que se explica a continuación.

    Comencemos con un cuadrado inscrito y circunscrito en un círculo...

  El lado del cuadrado inscrito mide 8,49 unidades. El área del cuadrado la podemos calcular como lado por lado o lado al cuadrado. 

  En este caso (8,49) x (8,49) = 72,0801 unidades cuadradas.

 El lado del cuadrado circunscrito mide 12 unidades. El área de este es (12)x(12) = 144 unidades cuadradas.

   El área aproximada del círculo con este método lo podemos obtener con la semisuma de las áreas calculadas. Es decir:

(72,0801+144) / 2 = 108,04005 

unidades cuadradas

   Si aumentamos el número de lados del polígono inscrito por ejemplo a ocho lados...

   El área que obtenemos es la siguiente: 101,82 unidades cuadradas.

    Si aumentamos ahora el número de lados a 16

El área que se obtiene es: 110,21 unidades cuadradas.

    Por último si el polígono tiene 32 lados...

El área es: 112,37 unidades cuadradas.

  Exhaustos por la aplicación del método, podemos calcular el área del círculo con la fórmula:

   Como el radio del círculo es 6 unidades. El área es: 113,0973355 unidades cuadradas.

    Podemos notar que a medida que aumentamos el número de lados del polígono inscrito en el círculo nos aproximabamos al área del mismo. Esto lo podemos experimentar también con los polígonos circunscritos.

    Años mas tarde el matemático Riemann (1826 - 1866) hace sus aportes al cálculo integral específicamente al cálculo de área pero con distintas curvas.

    Veamos intuitivamente su aporte...

   El método del agotamiento fue eficaz para determinar el área de un círculo, pero si se tiene una curva cualquiera, ¿Cómo se determina el área que encierra esa curva?, la respuesta a esta pregunta la proporcionó el matemático Riemann aproximándose a la curva con rectángulos. 

Por ejemplo: Sea R la región debajo de la gráfica de la función cuadrática y por arriba del intervalo [0,3]. Se calcula la subestimación y la sobreestimación del área A de R obtenida usando 5 rectángulos de base 3/5.

    Al tomar rectángulos de base 3/5 el intervalo [0,3] queda dividido en cinco segmentos por los puntos: A = (3/5,0), B = (6/5,0), C = (9/5,0) y D = (12/5,0). Se establecen ahora las imágenes de 0, 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y 3 a través de la función cuadrática f.

x	f (x) = x2
0	0
3/5	9/25
6/5	36/25
9/5	81/25
12/5	144/25
3	9

Se puede observar la Subestimación gráficamente así:

    El área aproximada bajo la curva la podemos calcular aplicando repetidas veces la fórmula del área del rectángulo (A = b.h) y luego sumar cada una de estas áreas.

Área del primer rectángulo = 3/5[(0)(0)] = 0

Área del segundo rectángulo = 3/5[(3/5)(3/5)] = 27/125

Área del tercer rectángulo = 3/5[(6/5)(6/5)] = 108/125

Área del cuarto rectángulo = 3/5[(9/5)(9/5)] = 243/125

Área del quinto rectángulo = 3/5[(12/5)(12/5)] = 432/125

Área total = 0 + 27/125 + 108/125 + 243/125 + 432/ 125 = 162/25 = 6,48 unidades cuadradas

    Ahora bien la Sobreestimación es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima de la curva

Área del primer rectángulo = 3/5[(3/5)(3/5)] = 27/125

Área del segundo rectángulo = 3/5[(6/5)(6/5)] = 108/125

Área del tercer rectángulo = 3/5[(9/5)(9/5)] = 243/125

Área del cuarto rectángulo = 3/5[(12/5)(12/5)] = 432/125
Área del quinto rectángulo = 3/5[(3)(3)] = 27/5

Área total = 27/125 + 108/125 + 243/125 + 432/ 125 + 27/5 = 297/25 = 11,88 unidades cuadradas

Gráficamente:

    Para obtener el área delimitada por la función cuadrática, el eje X y el intervalo [0,3], Se calculará el siguiente promedio:

(11,88 + 6,48) / 2 = 9,18 unidades cuadradas

   Aplicando los métodos de integración y el Teorema Fundamental del Cálculo se obtiene que ésta área posee 9 unidades cuadradas. 

    En el siguiente cuadro Edwards, Hostetler y Larson (2006) resumen lo que es el cálculo integral:

Referencia

Edwards, B., Hostetler, R. y Larson, R. (2006). Cálculo. México: McGraw – Hill.

El Cálculo

El Cálculo

    La palabra Cálculo o en latín Calculus significa piedra, pero en Matemática esta palabra representa dinamismo y movimiento, o como lo expresa Stewart (2001) “El Cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades” (p.3).

  Además Edwards, Hostetler y Larson (2006), señalan que: "el Cálculo es una "máquina de límites" que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas previas al cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo. La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo, en terminos de derivadas e integrales" (p.42).

Referencias

Edwards, B., Hostetler, R. y Larson, R. (2006). Cálculo. México: McGraw – Hill.

Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Thomson Learning.